Медианы треугольника пересекаются в одной точке, Точка пересечения медиан
Полученный корень нужно поделить пополам. Бесплатные материалы по всем предметам и тренажёры для закрепления знаний. В школьном курсе геометрии доказывается, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке — ортоцентре.
Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O рис. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом , а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам рис. Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной , то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников рис. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC.
Длина медианы треугольника рис. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой. В силу утверждения 4 справедливы равенства:. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника , равна половине гипотенузы рис. Получим четырехугольник ADBC , диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C , то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC — прямоугольник.
Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:. Итак, мы убедились, что две любые медианы треугольника пересекаются, теперь докажем, что точкой пересечения они делятся в отношении Аналогичные рассуждения можно провести для двух других пар медиан. А так как точка, делящая отрезок в заданном отношении единственная, то все медианы проходят через одну точку. Коротко, понятно, по делу. Единственное, что требуется это дополнительное построение.
Рассмотрим следующее доказательство - векторный способ. Будем использовать разложение векторов по базису. Напомним, что на плоскости любые два неколлинеарных вектора можно взять в качестве базиса, тогда любой другой вектор можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов. Алгебраичненько получилось. И рассмотрим третий способ - физический. Будем использовать понятие центра масс. Я заранее прошу прощения у всех физиков, которые увидят этот текст. Есть математическое определения центра масс, но в данном случае, оно нам не очень интересно, потому что задача опять сведется к векторам.
Мы будем понимать под центром масс точку, за которую можно подвесить систему и она будет в равновесии. Также нам понадобятся несколько свойств: 1 Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек имеет центр масс и при том единственный.
Вот и вся нужная теория, теперь перейдем к решению задачи. Наш треугольник представляет собой систему трех материальных точек А, В, С, которые имеют одинаковую массу. Для простоты возьмем массу равной 1.
По первому свойству, в данной системе существует единственный центр масс, обозначим его буквой O. Согласно второму свойств центр масс точек А и С находится в точек В1. Высоты треугольника ABC перейдут в серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника и, следовательно, точка пересечения высот H перейдет в точку пересечения серединных перпендикуляров O. Значит, точки O , G , H лежат на одной прямой. Покажем, что середина N отрезка OH является центром окружности девяти точек.
Действительно, C 1 C 2 — хорда окружности девяти точек. Поэтому серединный перпендикуляр к этой хорде является диаметром и пересекает OH в середине N. Аналогично, серединный перпендикуляр к хорде B 1 B 2 является диаметром и пересекает OH в той же точке N.
Значит N — центр окружности девяти точек. Докажите, что радиус окружности Эйлера в два раза меньше радиуса окружности, описанной около исходного треугольника.
Прямая Симсона. Для произвольного треугольника основания перпендикуляров, опущенных из любой точки описанной окружности на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, называемой прямой Симсона. Действительно, пусть P — произвольная точка, лежащая на окружности, описанной около треугольника ABC ; D, E, F — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника рис.
Требуется доказать, что точки D, E, F лежат на одной прямой. Опишем окружность с диаметром CP. Опишем окружность с диаметром BP. Значит точки D, E, F лежат на одной прямой.
Литература 1. Адамар Ж. Элементарная геометрия.
Часть I. Учпедгиз, Москва, Перепелкин Д. Курс элементарной геометрии. ОГИЗ, Гостехиздат. Москва, Ленинград, 3. Зетель С. Новая геометрия треугольника.
Кокстер Г. Введение в геометрию. Коксетер Г. Новые встречи с геометрией. Прасолов В. Задачи по планиметрии. Шклярский Д.
